Como saber a versão do Tomcat

Opção 1:
Acesse seu sistema em um endereço onde não exista mapeamento, ex:

http://meusite.com.br/qualquercoisa/

Dessa forma deve apresentar algo como:

Opção 2:
E bem simples, basta criar um arquivo jsp com o seguinte código:
Tomcat Version : <%= application.getServerInfo() %>
Servlet Specification Version :
<%= application.getMajorVersion() %>.<%= application.getMinorVersion() %>
JSP version :
<%=JspFactory.getDefaultFactory().getEngineInfo().getSpecificationVersion() %>


Quando você acessar, http://meusite.com/tomcat_version.jsp, a saída deve ser semelhante a:

Tomcat Version : Apache Tomcat/5.5.25
Servlet Specification Version : 2.4
JSP version: 2.0

Opção 3:
Abra o arquivo RELEASE-NOTES que fica na pasta raiz do seu Tomcat, nas primeiras linhas deve ter algo como:

Apache Tomcat Version 7.0.62
Release Notes